Komplexe Zahlen

Mit Hilfe der komplexen Zahlen ist es möglich, Gleichungen wie z.B. x²+1 = 0 zu lösen.
Das Einzige, das neu dazukommt, ist die imaginäre Einheit "[math]\displaystyle{ i }[/math]",
alle anderen Rechenregeln bleiben erhalten.

Vorbemerkung und Wiederholung

In der Mittelstufe wurde folgendes gelehrt:

[math]\displaystyle{ (14 - 5) * (17 - 11) = 9 * 6 = 54 }[/math].

Oder man rechnet mit doppelter Anwendung des Distributivgesetzes:

[math]\displaystyle{ 14*17 - 5*17 -14*11 + 5*11 = 238 - 85 - 154 + 55 = 54. }[/math]

Wir sehen: [math]\displaystyle{ (-5)*(-11) }[/math] muss [math]\displaystyle{ 55 }[/math] ergeben, oder kürzer: "Minus mal Minus ergibt Plus".

Somit ergibt sich: [math]\displaystyle{ (-7)*(-7) = 49 }[/math]

Wäre das nicht so, dann würde das Gefüge von Addition und Multiplikation sofort zusammenbrechen,
weil die Distributivgesetze verletzt wären. Und wir sind auch gewohnt: "Plus mal Plus ergibt Plus".
Das Quadrieren einer Zahl ungleich Null führt also immer zu einer positiven Zahl.

[math]\displaystyle{ i^{2} = -1, }[/math]

Und nun kommt eine Ausnahme, die imaginäre Einheit "[math]\displaystyle{ i }[/math]". Und hier gilt:

[math]\displaystyle{ i*i = -1. }[/math]

Oder anders geschrieben:

[math]\displaystyle{ i^{2} = -1. }[/math]

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen kennen die meisten von uns, Beispiele:

[math]\displaystyle{ -23, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{5}, }[/math]

[math]\displaystyle{ 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ 1, }[/math]

[math]\displaystyle{ 114,375, }[/math]

[math]\displaystyle{ log 19. }[/math]

Die Menge der reellen Zahlen wird mit "[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]" bezeichnet.

Imaginäre Zahlen

Neu sind jetzt die imaginären Zahlen:

[math]\displaystyle{ 24*i, }[/math]

[math]\displaystyle{ -9*i, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{2}*i. }[/math]

Die imaginäre Einheit "[math]\displaystyle{ i }[/math]" kann man ebenfalls als imaginäre Zahl bezeichnen.
Die Menge der imaginären Zahlen hat keine eigene Abkürzung.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl entsteht durch Zusammenfügen einer rellen Zahl und einer imaginären Zahl,
das sieht dann so aus:

[math]\displaystyle{ 4 + 7*i. }[/math]

Sie lesen richtig. FÜNF Symbole in einer Zahl: [math]\displaystyle{ 4, +, 7, * }[/math] und das "[math]\displaystyle{ i }[/math]"!

Addition und Multiplikation werden jedoch nicht bzw. nicht in der bisher gewohnten Form durchgeführt.
Diese neu entstandenen Zahlen bilden die Menge der komplexen Zahlen, sie wird mit "[math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]" bezeichnet.
Die komplexe Zahl [math]\displaystyle{ 4 + 7*i }[/math] hat den Realteil "4" und den Imaginärteil "7".
Bei einer imaginären Zahl ist der Realteil gleich 0, bei einer reellen Zahl ist der Imaginärteil gleich 0.

WICHTIGE HINWEISE

- "[math]\displaystyle{ i }[/math]" ist keine Variable, wir setzen keine Werte ein, es gilt [math]\displaystyle{ i^{2} = -1. }[/math]

- "[math]\displaystyle{ i }[/math]" ist nicht "irgend etwas mit eins oder Wurzel aus eins" und hat auch nichts mit eins zu tun.
Wir berechnen nicht [math]\displaystyle{ 7*i. }[/math]

Wir nehmen auch keine Verkürzung vor, indem wir [math]\displaystyle{ 4+7*i }[/math] oder [math]\displaystyle{ 4+7 }[/math] berechnen.
Wenn [math]\displaystyle{ 4+7*i }[/math] das Ergebnis einer Berechnung ist, dann bleibt die Zahl so stehen.

- Realteil UND Imaginärteil einer komplexen Zahl sind reelle Zahlen.

- Die Definition [math]\displaystyle{ i= \sqrt{-1} }[/math] ist zwar richtig, man sollte sie aber trotzdem so nicht hinschreiben.

- Beim Ausdruck [math]\displaystyle{ \sqrt{-16} }[/math] ersetzt man besser das Minuszeichen unter der Wurzel durch [math]\displaystyle{ i^{2} }[/math],

- [math]\displaystyle{ \sqrt{-16} = \sqrt{16*i^{2}} = 4*i. }[/math]

Die Menge der komplexen Zahlen umfasst somit die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen,
die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen, die imaginären Zahlen und die zusammengesetzten,
also "echt komplexen" Zahlen. Man kann also sagen, dass die Menge der komplexen Zahlen
die Menge aller Zahlen ist. Einige Beispiele:

[math]\displaystyle{ 1,275 - 3i, }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{-17}{9} + \sqrt{2}i, }[/math]

[math]\displaystyle{ 5i, }[/math]

[math]\displaystyle{ -23, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt{5}, }[/math]

[math]\displaystyle{ 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ 1. }[/math]

Google kann sehr gut mit komplexen Zahlen rechnen. Geben Sie einfach mal die Zeichenfolge [math]\displaystyle{ i*i }[/math]
in das google-Suchfeld ein! Oder [math]\displaystyle{ (-i)*(-i). }[/math] Wir kommen noch darauf zurück.

Addition und Subtraktion

Das ist einfach. Wir addieren (oder subtrahieren) die Realteile und imaginären Zahlen getrennt voneinander.

[math]\displaystyle{ (5 + 17i) + (7 + 8i) ~ = ~ 12 + 25i }[/math]

[math]\displaystyle{ (4 + 2i) - (7 - 22i) ~ = ~ -3 + 24i }[/math]

Multiplikation

Nochmals: auch die natürlichen Zahlen gehören zu den komplexen Zahlen, ihr Imaginärteil ist Null.

[math]\displaystyle{ 17 = 17 + 0*i }[/math]
[math]\displaystyle{ 3i = 0 + 3*i }[/math]

Beispiel 1

[math]\displaystyle{ (3i ~ * ~ 17i) = (3*17*i*i) = -51 }[/math] , das Minuszeichen erscheint wegen [math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]

Beispiel 2

[math]\displaystyle{ 2 ~ * ~ (6 + 3,5i) = 12 + 7i }[/math]

Beispiel 3

[math]\displaystyle{ (2 + 7i) * (5 + 9i) }[/math]

[math]\displaystyle{ = 2*5 + 7i*5 + 2*9i + 7i*9i }[/math]

[math]\displaystyle{ = 10 + 35i +18i -63, }[/math]

[math]\displaystyle{ = -53 + 53i }[/math]

Zur Übung seien folgende Berechnungen empfohlen:

[math]\displaystyle{ (2 + 3i) * (4 - 5i) }[/math]
[math]\displaystyle{ (8 + 3i) * (8 - 3i) }[/math] Die dritte binomische Formel taucht hier auf
[math]\displaystyle{ (8 + 3i) * (-8 - 3i) }[/math]

Ihre Ergebnisse lassen sich mit google nachprüfen, dazu sind jeweils

(2 + 3*i) * (4 - 5*i)
(8 + 3*i) * (8 - 3*i)
(8 + 3*i) * (-8 - 3*i)

mit Hilfe von copy + paste in das google-Suchfeld zu übertragen.

Division

Tritt im Nenner ein Imaginärteil auf, dann muss man den Bruch erweitern und zwar
mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. "Konjugiert" bedeutet, dass das Vorzeichen
des Imaginärteils wechselt. Das sieht so aus:

[math]\displaystyle{ z=23-17i ~ =\gt \overline{z}=23+17i }[/math]

Beispiel für eine Division:

[math]\displaystyle{ \frac{7+4i}{8+9i} }[/math]

= [math]\displaystyle{ \frac{(7+4i)(8-9i)}{(8+9i)(8-9i)} }[/math]

= [math]\displaystyle{ \frac{56+32i-63i-36i^2}{64+72i-72i-81i^2} }[/math]

= [math]\displaystyle{ \frac{92-31i}{145} }[/math]

= [math]\displaystyle{ 0,6345-0,2138i }[/math]

Potenzen von i

[math]\displaystyle{ i^0=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^1=i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^2=-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^3=i^2*i=-i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^4=i^2*i^2=1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^5=i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^6=-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ i^7=-i }[/math]
[math]\displaystyle{ i^8=1 }[/math]

usw.

Hinweis:

[math]\displaystyle{ i^4=1 ~ }[/math] bedeutet nicht, dass [math]\displaystyle{ i=1 ~ }[/math] ist. Man sollte aber [math]\displaystyle{ i^4 ~ }[/math] durch "[math]\displaystyle{ 1 }[/math]" ersetzen.

"[math]\displaystyle{ i ~ }[/math]" ist eine Zahl, die es nicht gibt, ist also "imaginär".

Übungsempfehlung: [math]\displaystyle{ z^2 + 2z +3, ~ mit ~ z= -1 + \sqrt{2}*i }[/math]

Wenn Sie es bis hierhin geschafft haben, dann können Sie die Konstruktion der sogenannten
Mandelbrot-Menge verstehen!

Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene ist ein Koordinatensystem mit zwei Achsen,
die senkrecht aufeinanderstehen. Dazu folgende Anmerkungen:

- Die senkrechte Achse (Im) enthält als Markierungen die imaginären Zahlen.
  In unseren Beispielen geben wir die Imaginärteile (-2, -1, 0, 1, 2, 3...) an, andere Autoren
  schreiben -2i, -i, 0, i, 2i, 3i ... Manchmal werden die Achsen mit x und y statt mit Re und Im
  bezeichnet.

- Für das Rechnen mit reellen Zahlen genügt der Zahlenstrahl,
  in der komplexen Zahlenebene bewegen wir uns in zwei Dimensionen.
  Leider lassen sich Funktionen schlecht darstellen, unter Umständen
  benötigen wir zwei Koordinatensysteme.

- Die Multiplikation zweier imaginärer Zahlen führt uns auf die reelle Achse,
  umgekehrt passiert das nicht.

- Einen Vergleich zweier komplexer Zahlen durch eine Ordnungsrelation [math]\displaystyle{ z_1 \lt z_2 ~ }[/math] oder [math]\displaystyle{ ~ z_3 \gt z_4 }[/math]
  gibt es nicht; wir können nicht feststellen, welche der beiden Zahlen [math]\displaystyle{ 4 + 7*i ~ }[/math] und [math]\displaystyle{ ~ 3 + 8*i }[/math] die größere ist.

Beispiel 1

Wir wollen die Zahl [math]\displaystyle{ z=7+3i }[/math] in der Gaußschen Zahlenebene eintragen. Zunächst gehen wir auf der
reellen Achse 7 Längeneinheiten nach rechts und dann parallel zur imaginären Achse 3 Längeneinheiten
nach oben.

Der Betrag, also die Länge von [math]\displaystyle{ z }[/math] ist:
[math]\displaystyle{ |z|=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58} ~ = ~ 7,62... ~ LE }[/math]

LE ist die Abkürzung für Längeneinheiten.
Das "LE" werden wir in Zukunft weglassen, bei einer Multiplikation im Komplexen entstehen
keine Quadratmeter oder Kubikmeter aus Längeneinheiten.

Was wir sehen, ist nichts anderes, als der Satz des Pythagoras. [math]\displaystyle{ |z| }[/math] ist die Hypotenuse,
Realteil und Imaginärteil sind die Katheten.

Beispiel 2

Hier ist [math]\displaystyle{ z=-4i }[/math] eingezeichnet. Der Betrag [math]\displaystyle{ |z| }[/math] ist 4.

Der Betrag einer komplexen Zahl ist stets eine nichtnegative reelle Zahl.

Übungsvorschläge:

Gegeben: [math]\displaystyle{ z=6-7i. }[/math] Wie groß ist [math]\displaystyle{ |z| }[/math]?
Gegeben: [math]\displaystyle{ z=1+i. }[/math] Wie groß ist [math]\displaystyle{ |z|? }[/math] Kleine Hilfe: [math]\displaystyle{ 1+i=1+1i }[/math]

Beispiel 3
Hier haben wir [math]\displaystyle{ z=-9-2,5i ~ }[/math] und [math]\displaystyle{ ~ \overline{z}=-9+2,5i }[/math] eingetragen.

Übungsvorschläge: Berechnen Sie [math]\displaystyle{ z+\overline{z} ~, ~ z-\overline{z} ~ }[/math] und [math]\displaystyle{ ~ \overline{z}-z. }[/math]

Zeichnerische Addition

In drei Schritten zeigen wir die Addition [math]\displaystyle{ (5 + 5i) ~ + ~ (-3 + 2i). }[/math]

Schritt 1

Den ersten Summanden einzeichnen:

Schritt 2

Die Komponenten des zweiten Summanden an die Pfeilspitze des ersten setzen:

Schritt 3

Die dritte Pfeilspitze zeigt das Ergebnis an:

Zeichnerische Subtraktion

Wir ermitteln [math]\displaystyle{ (4 + 2i) ~ - ~ (2 + 3i). }[/math]

Dazu zeichnen wir beide Zahlen ein. Zunächst durchlaufen wir den Subtrahenden
2+3i in entgegengesetzter Pfeilrichtung (wegen des Minuszeichens) und erreichen
den Ursprung des Koordinatensystems. Nun führen wir eine Addition aus, indem wir
den Minuenden 4+2i im Ursprung anfügen. Die Verbindung von Startpunkt zum Zielpunkt
ergibt die gesuchte Differenz.

Übungsempfehlung: in ein Koordinatensystem ist zu zeichnen

[math]\displaystyle{ (2 + 3i) ~ - ~ (4 + 2i)~ }[/math]

und

[math]\displaystyle{ -(2 + 3i) ~ - ~ (4 + 2i). }[/math]

Zeichnerische Multiplikation

Zu berechnen ist das Produkt [math]\displaystyle{ (2 + i) ~ * ~ (2 + 6i). }[/math]

Man addiert die Winkel der beiden Faktoren, den sie jeweils mit der positiven reellen Achse bilden.
Dann hat man zunächst "die Richtung des Produkts". Als nächstes multipliziert man die Beträge
beider Zahlen und erhält den Betrag als Länge. Diese Länge ist dann vom Ursprung abzutragen.

Das komplette Verfahren kann man sich auf youtube ansehen, das uns von
Prof. Edmund Weitz vorgestellt wird.

Übungsvorschlag: Zeichnen Sie [math]\displaystyle{ (4 + 7i) ~ * ~ i~. }[/math]

Wiederholung Trigonometrie

Alles über Winkelfunktionen ist hier als Wiederholung gedacht, wenn etwas zu schnell geht,
dann hilft youtube mit Lehrerschmidt und anderen weiter.

Ein Kreis ist eingeteilt in 2*2*2*3*3*5 = 360 gleich große Teile. Ein Grad ist der 360te Teil eines
Kreises. Ein Viertelkreis beträgt 90° und heißt rechter Winkel.

Das folgende Bild zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] = 24°.
Daraus läßt sich mit einem Taschenrechner das Verhältnis aus der Gegenkathete von [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]
dividiert durch die Hypotenuse ermitteln. Das ist der Sinus des Winkels [math]\displaystyle{ \alpha. }[/math]
Die Eingabe von sin (24°) führt zu dem Ergebnis 0,40673...
Man muss darauf achten, dass der Taschenrechner auf Grad (deg) eingestellt ist.

Das Ergebnis kann man nachprüfen, indem man die Linienlängen von GK und HY
nachmisst und dann dividiert.

Wenn man zusätzlich zum Winkel [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] eine weitere Seitenlänge des Dreiecks kennt,
lässt sich das gesamte Dreieck berechnen.

Übungsvorschlag:

Gegeben: Ein rechtwinkliges Dreieck mit [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] = 53°, Hypotenuse = 15 cm.
Gesucht: die Länge beider Katheten. Hinweis: Die Winkelsumme eines Dreiecks ist
180°, der andere Winkel [math]\displaystyle{ \beta }[/math] ist damit 90°-53°=37°. Die Gegenkathete des Winkels [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]
ist gleichzeitig die Ankathete des Winkels [math]\displaystyle{ \beta. }[/math]

Haben wir umgekehrt das Seitenverhältnis aus Gegekathete:Hypotenuse gegeben, dann können
wir mit Hilfe von arcsin den Winkel berechnen. Auf dem Taschenrechner ist das meistens
die Taste [math]\displaystyle{ sin^{-1}. }[/math] Achtung: das ist nicht der Kehrwert, sondern die Umkehrfunktion.

Ferner erhalten wir mit Anwendung des Satzes von Pythagoras [math]\displaystyle{ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = ~1. }[/math]

Eine andere Schreibweise ist [math]\displaystyle{ (sin~\alpha)^2 ~ + ~ (cos~\alpha)^2 = ~1. }[/math]

Übungsvorschlag:

Gegeben ist das Verhältnis GK:HY=0,669106. Wie groß ist der Winkel [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]?

Weitere Winkelfunktionen

- Der Kosinus (cos) eines Winkels ist das Verhältnis Ankathete dividiert durch Hypotenuse

- Der Tangens (tan) eines Winkels ist Gegenkathete dividiert durch Ankathete

- Der Kotangens (cot) eines Winkels ist Ankathete dividiert durch Gegenkathete, also der Kehrwert von tan.

Die Begriffe Sekans und Kosekans kommen nur selten vor, es handelt sich -genauso wie cot- um Kehrwerte.

tan (90°) ist nicht definiert.

Umrechnung in das Bogenmaß

Es ist auch eine andere Teilung eines Kreises üblich: das Bogenmaß. Hier nehmen wir
einen Kreis mit dem Radius 1. Wegen der Kreisformel [math]\displaystyle{ U=2r\pi }[/math] ist der Umfang des ganzen
Kreises 2\(\pi\). Der gestreckte Winkel von 180° ist umgerechnet [math]\displaystyle{ \pi }[/math] und der rechte Winkel
90° ist [math]\displaystyle{ \pi }[/math]/2. Die Zahlen im Bogenmaß sind kleiner, wir haben einen Umrechnungsfaktor von
von 360°/2[math]\displaystyle{ \pi }[/math] = 57,29578... also 1 rad = 57,29578°.

Wichtig: der Taschenrechner muss korrekt eingestellt sein. Bei Grad auf deg (degrees),
beim Bogenmaß auf rad (radiant). Die "Einheit" rad, die eigentlich keine ist, sondern nur Teil
eines Kreises, wird meistens weggelassen. Wir schreiben also entweder [math]\displaystyle{ sin~(\pi/8) }[/math]
oder [math]\displaystyle{ sin~22,5°. }[/math]

Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten

Eine komplexe Zahl kann man auch in ein Koordinatensystem eintragen, wenn man
ihren Betrag, also die Länge kennt und den Winkel zwischen Betrag und der reellen Achse.
Das sieht dann so aus:

[math]\displaystyle{ z=(5; 53°). }[/math] Sind alle Einheiten der Seitenlängen natürliche Zahlen, dann haben wir es
mit einem Pythagoreischen Tripel zu tun (3; 4; 5). Ein weiteres Beispiel ist (5; 12; 13).

• 

Allgemein schreibt man [math]\displaystyle{ z=(r; \phi), }[/math] wobei r=[math]\displaystyle{ |z|. }[/math]
Wir verwenden bei den komplexen Zahlen für den Winkel den griechischen Buchstaben
"phi". Die Darstellung im Bild weicht leider von der in den Formeln leicht ab.
Mit den Polarkoordinaten kann man aber nicht rechnen, wir brauchen dazu
die trigonometrische Darstellung oder die Exponentialform. Die Umformungen sind sehr einfach,
das folgt später.

Rechnen mit komplexen Zahlen in google

Komplexe Zahlen können auch in Exponenten auftauchen. Damit man keine Vorstellung von "[math]\displaystyle{ i }[/math]"
bekommt, empfehlen wir folgende Berechnungen mit google, dabei gibt man die Operationen direkt
in das google-Suchfeld ein oder kopiert mit copy + paste. In den folgenden Beispielen
ist der Realteil im Exponenten gleich Null.

2 hoch (3*i) oder 2 ** (3*i) oder 2 to the power (3*i)
2 hoch (7*i)
100 hoch (6*i)
1000 hoch (26*i)
100000 hoch (9000*i)

Zu sehen ist, dass Realteil und Imaginärteil stets zwischen -1 und +1 liegen.

Und nun kommen wir zu der schönsten Formel der Mathematik, das ist die Eulersche Identität:

          [math]\displaystyle{ e^{\pi*i} +1 = 0 }[/math]

Für die Eingabe in das google-Suchfeld:

(2,71828183 hoch (3,14159265*i)) +1

oder auch -diesmal ohne Rundungsfehler-

(e hoch (pi*i)) + 1

Weblinks

Serlo, Komplexe Zahlen