Gruppen

Eine Gruppe ist in der Mathematik eine Menge, die in Verbindung mit einer beschriebenen Verknüpfung bestimmte Axiome erfüllt.

Wir stellen zunächst einige Beispiele und Gegenbeispiele für Gruppen vor, erklären die Axiome und gleichen die Beispiele mit den Axiomen ab.

• Die Menge [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] der ganzen Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition eine Gruppe.

• Die Menge [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] der ganzen Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe.

• Die Menge der geraden Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition eine Gruppe.

• Die Menge der ungeraden Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition keine Gruppe.

• Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich der gewöhnlichen Addition keine Gruppe.

• Die beiden Zahlen 1 und -1 sind bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe.

• Die beiden Zahlen 1 und -1 sind bezüglich der gewöhnlichen Addition keine Gruppe.

• Die Zahl "Null" ist bezüglich der gewöhnlichen Addition eine Gruppe. Bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation ebenfalls.

• Die Zahl "Eins" ist bezüglich der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe. Bezüglich der gewöhnlichen Addition nicht.

• Die beiden Zahlen "Null" und "Eins" sind eine Gruppe, wenn folgende Additionsregeln gelten, also [math]\displaystyle{ 1 \oplus 1 = 0 }[/math] :
  

[math]\displaystyle{ \oplus }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]
[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 1 }[/math]	[math]\displaystyle{ 0 }[/math]

• Die vier Elemente [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] und [math]\displaystyle{ e }[/math] sind nach folgender Tabelle eine Gruppe, es gilt z.B. [math]\displaystyle{ c \oplus b = a }[/math], das "[math]\displaystyle{ e }[/math]" wird neutrales Element genannt:

[math]\displaystyle{ \oplus }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]
[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]
[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]
[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]
[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]

• Die vier Elemente [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] und [math]\displaystyle{ e }[/math] bilden auch nach dieser Tabelle eine Gruppe, sie nennt sich Kleinsche Vierergruppe:

[math]\displaystyle{ \oplus }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]
[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]
[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]
[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]
[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ b }[/math]	[math]\displaystyle{ a }[/math]	[math]\displaystyle{ e }[/math]

• Die rationalen Zahlen [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], die reellen Zahlen [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] und die komplexen Zahlen [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] sind ebenfalls Gruppen bezüglich der gewöhnlichen Addition.

• Die rationalen Zahlen [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], die reellen Zahlen [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] und die komplexen Zahlen [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] sind keine Gruppen bezüglich der gewöhnlichen Division.

• Drehungen und Permutationen können ebenfalls Gruppen sein.

Gruppenaxiome

Abgeschlossenheit der Menge

Man nennt eine Menge abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung, wenn für je zwei Elemente das
Ergebnis der Verknüpfung ebenfalls in der Menge liegt.

Assoziativität

Eine Klammersetzung bei einer zweifachen Verknüpfung ändert das Ergebnis nicht, also
[math]\displaystyle{ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) }[/math].

Mit Zahlen: [math]\displaystyle{ (3 + 4) + 17 = 7 + 17 = 24 = 3 + (4 + 17) = 3 + 21 }[/math]

Existenz eines neutralen Elements

Jede Gruppe muss genau ein neutrales Element (hier "[math]\displaystyle{ e }[/math]" genannt) enthalten. Allgemein ist dieses die Null
bei der gewöhnlichen Addition [math]\displaystyle{ (3 + 0 = 3) }[/math] und die Eins bei der gewöhnlichen Multiplikation [math]\displaystyle{ (12 * 1 = 12) }[/math].
Ein neutrales Element ist sowohl linksneutral als auch rechtsneutral,
so dass gilt: [math]\displaystyle{ e \circ b = b \circ e = b }[/math], also [math]\displaystyle{ 0 + 3 = 3 + 0 = 3 }[/math]. Oder [math]\displaystyle{ 1 * 12 = 12 * 1 = 12 }[/math]

Ebenfalls neutrale Elemente sind Nullvektor, Nullmatrix (Addition) und quadratische Einheitsmatrizen,
also eine 3*3-Einheitsmatrix oder eine 5*5-Einheitsmatrix (Matrizenmultiplikation).

Existenz inverser Elemente

Zu jedem Element gibt es genau ein inverses Element. Die Verknüpfung von einem Element
mit seinem Inversen ergibt das neutrale Element:

[math]\displaystyle{ \overline a \circ a = e = a \circ \overline a }[/math].

Beispiel für eine Addition: [math]\displaystyle{ 3+(-3) = 0 }[/math], das inverse Element zu [math]\displaystyle{ 3 }[/math] ist [math]\displaystyle{ -3 }[/math].

Beispiel für eine Multiplikation: [math]\displaystyle{ 4 \times \frac {1}{4} = 1 }[/math], das inverse Element zu [math]\displaystyle{ 4 }[/math] ist [math]\displaystyle{ \frac {1}{4} }[/math].

Ein Element und sein inverses Element müssen nicht zwingend verschieden aussehen.
Bei der Multiplikation ist das inverse Element zu "[math]\displaystyle{ 1 }[/math]" ebenfalls "[math]\displaystyle{ 1 }[/math]".
Und zu [math]\displaystyle{ -1 }[/math] gehört [math]\displaystyle{ -1 }[/math], denn [math]\displaystyle{ -1*-1 = 1 }[/math].