4. Beispiel

Beweisen Sie, dass \(7^n-2^n \) für alle natürlichen Zahlen n \( \geq{1} \) durch 5 ohne Rest teilbar ist.


Induktionsanfang

n=1

\(7^1-2^1 \) = 5, durch 5 teilbar. Wahre Aussage.


Induktionsschluss

- Induktionsvoraussetzung:

\(7^k-2^k \) ist durch 5 teilbar.

- Induktionsbehauptung:

\( 7^{(k+1)}-2^{(k+1)} \) ist durch 5 teilbar.


\(7*7^k-2*2^k \)

Ziel soll sein, die IV sichtbar machen, dazu den ersten Faktor 7 zerlegen in 5 + 2.

\((5+2)*7^k-2*2^k \)

\(5*7^k+2*7^k-2*2^k \)

\(5*7^k+2*(7^k-2^k) \)

Der erste Summand ist durch 5 teilbar. Mit der IV ist auch der zweite Summand durch 5 teilbar.
Also ist der gesamte Ausdruck durch 5 teilbar.


q.e.d.