5. Beispiel

Diesmal betrachten wir eine Ungleichung, besser wäre die Bezeichnung "Relation".
Der Umgang mit den Zeichen =, <, >, \( \geq \), \( \leq \) darf keine Schwierigkeiten machen.
Ansonsten hilft youtube mit Daniel Jung und anderen weiter. Unten
findet sich eine kleine Wiederholung zu diesem Thema.


Beweisen Sie: \(2^n > n^2 ~\) für alle n > 4.

Folgende Vorgehensweise ist bei Ungleichungen empfehlenswert: Man zieht die Induktionsbehauptung
auseinander und setzt die Induktionsvoraussetzung in die Mitte.



Induktionsanfang

n=5

\(2^5 > 5^2 ~\) ==> 32>25, wahre Aussage.



Induktionsschluss

- Induktionsvoraussetzung:

\(2^k > k^2 ~\)

- Induktionsbehauptung:

\(2^{(k+1)} > (k+1)^2 ~\)


Beweis der Induktionsbehauptung mit Anwendung der Induktionsvoraussetzung:

\( 2^{(k+1)} \)
.
.
.
.
\(2^k ~\)
>
\( k^2 ~\)
.
.
.
.
\( (k+1)^2 ~\)


Zunächst sieht es gut aus. \( 2^{(k+1)} \) ist größer als \( 2^{k} \).

Aber es droht Ungemach, denn \( k^2 ~\) ist kleiner als \( (k+1)^2 ~\)

und es dürfen in dieser Aufgabe nur die Zeichen =, > und \(\geq \) verwendet werden.

Wir berechnen \( 2^{(k+1)} \)= \( 2*2^k \) und erweitern die Induktionsvoraussetzung

mit zwei. Die IV muss auf beiden Seiten erweitert werden (damit die Aussage nicht

verfälscht wird), deshalb wird \( k^2 ~\) ebenfalls verdoppelt. Das geschieht in 2.) und 3.) .

Jetzt sieht es besser aus, es muss bewiesen werden, dass \(2*k^2 \geq (k+1)^2\) .

Das geschieht durch eine v.I. innerhalb einer v.I. .



Nochmal von vorne:

1.) \( 2^{(k+1)} \)
         =
2.) \( 2*2^k \)
         >
3.) \(2*k^2 \)
         =
4.) \(k^2+~~~~~k^2 \)

                        Zu beweisen: \(k^2 \geq {2*k+1}\) für alle \(k > 4\).


                        Induktionsanfang

                        4.1.) n=5

                        4.2.) \( 5^2>11 \). Wahre Aussage.


                        Induktionsschluss

                        - Induktionsvoraussetzung:

                        4.3.) \(k^2 \geq {2*k+1}\)

                        - Induktionsbehauptung:

                        4.4.) \((k+1)^2 \geq {2*(k+1)+1}\)


                        Beweis der Induktionsbehauptung:

                        4.5.) \((k+1)^2\)
                                      =
                        4.6.) \(k^2+2*k+1 \)
                                      \(\geq \)
                        4.7.) \(2*k+1 +2*k+1\)
                                      \(= \)
                        4.8.) \(4*k+2\)
                                      \(> \)
                        4.9.) \(2*k+3\)
                                      \(= \)
                        4.10.) \(2*(k+1)+1\)


                        (q.e.d.)


         >
5.) \(k^2+~~~~~2*k+1\)
         =
6.) \( (k+1)^2\)


q.e.d.




Noch einige Anmerkungen zu den Schritten 4.1.) bis 4.10.):


Bei 4.) und 5.) wurde je ein \(k^2\) abgezogen,

zu zeigen war \(k^2 \geq {2*k+1}\).


In 4.6.) und 4.7.) findet sich die Induktionsvoraussetzung wieder, zu der auf beiden Seiten

\(2*k+1\) addiert wurden.


Der Schritt von 4.8.) nach 4.9.) hätte ebenfalls bewiesen werden müssen, wir haben darauf verzichtet,

da diese Aussage für k>4 sofort einzusehen ist.











Wiederholung: Ungleichungen

Ungleichungen sehen folgendermaßen aus:

\( x \leq{-4} \), das heißt x ist kleiner oder gleich -4.
Lösungen für x wären -120, -6, -5 und auch -4.

\( x \geq{-4} \), das heißt x ist größer oder gleich -4.
Lösungen für x wären 120, 6, 0, -3 und auch -4.

\( x > -4 \), das heißt x ist größer als -4.
Lösungen für x wären 120, 6, -3,175.

Wie auch bei Gleichungen können auf beiden Seiten Werte addiert oder subtrahiert werden.

Gegeben ist die Ungleichung \( x-8 < 3 \). Ein Addieren von acht auf beiden Seiten führt

zu der Lösung \( x < 11 \).

Multiplizieren und Dividieren sind ebenfalls möglich. Zu beachten ist:
wenn wir mit negativen Zahlen arbeiten, dann dreht sich das Relationszeichen.

\( 5 < 7 ~~~~ | *(-1) \) ergibt

\( -5 < -7 \) was aber falsch ist.

\( -5 > -7 \) nach Drehung von "<" zu ">" wieder richtig.

Gleiches gilt bei der Division mit einer negativen Zahl:

\( -8 < 2 ~~~~ | : (- \frac{1}{2}) \)

\( 16 < -4 \) ist falsch.

\( 16 > -4 \) jetzt richtig.


Übungsvorschlag: Sie potenzieren beide Seiten folgender Ungleichungen mit 2, 3 und 4:

\( -3 < 4 \) und \( -3 < 2 \).

und untersuchen, wann das Relationszeichen gedreht werden muss.


Sie stehen vor dem Problem zu beweisen, dass gilt: \( a < h \).

Üblicherweise ist dieses nicht sofort ersichtlich, und Sie nehmen weitere Hilfsterme hinzu:

\( a < b < c < d < e < f < g < h \). Dann zeigen Sie nacheinander \( a < b \) ,

\( b < c \) , \( c < d \) , ... , \( g < h \). Dann ist \( a < h \) bewiesen.

Auch die Abfolge \( a = b = c = d < e = f = g = h \) würde ausreichen.

Nicht ausreichend wäre \( a \leq{b} \leq{c} \leq{d} \leq{e} \leq{f} \leq{g} \leq{h} \).

Für den Beweis \( a \leq{h} \) ist \( a = b = c = d = e = f = g = h \) ausreichend.

Sobald in der Kette ein \( \geq \) oder gar ">" erscheint, ist keine Aussage möglich.

Also \( a \leq{h} \) ist nicht bewiesen durch die Kette \( a < b < c < d < e < f \geq g < h \).

Gegeben ist die wahre Aussage 10 < 20 < 30 < 40 < 50 < 60.
Ebenfalls richtig ist 10 < 20 < 39 < 40 < 50 < 60.
Und auch 10 < 20 < 21 < 40 < 50 < 60.
Falsch ist 10 < 20 < 20 < 40 < 50 < 60.
Vergrößert man einen Ausdruck irgendwo in der Mitte, dann muss man nach rechts sehen.
Verkleinert man einen Ausdruck irgendwo in der Mitte, dann muss man nach links sehen.
Bei ">" statt "<" natürlich entgegengesetzt.

Und noch etwas: wenn man Änderungen am Anfang oder am Ende der Ungleichung vornimmt,
dann sollte man bedenken, dass die zunächst gestellte Aufgabe zu einer anderen wird.
Also 9 < 61 ist ebenfalls richtig, aber eine andere Aufgabe.